Question

1．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＞2}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）+{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$，若f（x）的值域為R，則實數a的取值范圍是（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 判斷分段函數在各自取值范圍上的單調性，結合函數的值域為R，得到兩個函數的最值之間的關系建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：當x＞2時，函數f（x）=2^x+a，為增函數，
當x≤2時，函數f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）$+a²，為增函數，
若f（x）的值域為R，
則滿足當x＞2時的范圍小于或等于當x≤2時的最大值，
即2²+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-2）+a²，
即4+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+a²=2+a²，
即a²-a-2≥0，
得a≥2或a≤-1，
故答案為：（-∞，-1]∪[2，+∞）

點評 本題主要考查函數值域的求解和應用，根據分段函數的單調性，得到兩個函數最值之間的關系是解決本題的關鍵．