Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{4}$-ax+cosx（a∈R），x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，試求a的值；
（Ⅱ）當a＞0時，求證：函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的定義，f（-x）=f（x）恒成立，求出a的值；
（Ⅱ）利用導數(shù)大于0或小于0，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
所以f（-x）=$\frac{{（-x）}^{2}}{4}$-a（-x）+cos（-x）
=$\frac{{x}^{2}}{4}$+ax+cosx
=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{4}$-ax+cosx恒成立，
所以a=0；       …（4分）
（Ⅱ）由題意可知$f'（x）=\frac{x}{2}-sinx-a$，
設$g（x）=\frac{x}{2}-sinx-a$，
則$g'（x）=\frac{1}{2}-cosx$；注意到$x∈（0，\frac{π}{2}）$，a＞0；
由g'（x）＜0，即$\frac{1}{2}-cosx＜0$，解得$0＜x＜\frac{π}{3}$；
由g'（x）＞0，即$\frac{1}{2}-cosx＞0$，解得$\frac{π}{3}＜x＜\frac{π}{2}$；
所以g（x）在$（0，\frac{π}{3}）$上單調(diào)遞減，$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增；
所以當$x∈（0，\frac{π}{3}）$，g（x）＜g（0）=0-a＜0，
所以f（x）在$x∈（0，\frac{π}{3}）$單調(diào)遞減，
當$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$，$g（x）＜g（\frac{π}{2}）=\frac{π}{4}-1-a＜0$，
所以f（x）在$x∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$單調(diào)遞減，
所以當a＞0時，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減．…（13分）

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的定義與應用問題，也考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的增減性問題，是綜合性問題．