Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，在軸截得的弦長(zhǎng)為2．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）若為軌跡上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交軸于，兩點(diǎn)，求面積的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2，．

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)，弦長(zhǎng) ，所以，利用相等，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，首先表示縱截距，然后利用直線與圓相切，有，表示為關(guān)于的二次方程，并且，，最后再表示面積，再求最值.

（1）設(shè)，根據(jù)

弦長(zhǎng)，

解得： ，

，整理為：,

的軌跡方程為．

（2）設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，

令，得，

∴切線與軸的交點(diǎn)為，而，

整理得，，∴．

設(shè)兩切線斜率為，，

則，

∴，

∵，

∴，則．

令，則，

而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“＝”成立．

此時(shí)，

∴的最小值為2，．