Question

12．如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l₁，l₁與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0（O為坐標原點），求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）過點P且與l₁垂直的直線l₂與拋物線交于C，D兩點，設AB，CD的中點分別為M，N，求證：直線MN必過定點，并求出該定點坐標（用m表示）．

Answer 1

分析 （I）設l₁：y=kx+m，與拋物線方程聯(lián)立方程組消元，根據根與系數的關系計算x₁x₂，y₁y₂，則由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0得x₁x₂+y₁y₂＜0；
（II）由（I）中的方程組得出x₁+x₂，y₁+y₂，得出AB的中點M的坐標，同理得出CD的中點N的坐標，得出MN的直線方程，化為斜截式方程得出定點坐標．

解答 解：（I）設直線l₁：y=kx+m，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消元得：x²-4kx-4m=0．
∵m＞0，∴△=16k²+16m＞0恒成立．
設 A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=m²．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=m²-4m＜0．
又m＞0，解得0＜m＜4．
（II）由（I）可得x₁+x₂=4k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=4k²+2m，
∴M（2k，2k²+m），
同理可得N（$-\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}+m$），
∴直線MN的方程為：$\frac{y-2{k}^{2}-m}{\frac{2}{{k}^{2}}-2{k}^{2}}=\frac{x-2k}{-\frac{2}{k}-2k}$，整理得：y=（k-$\frac{1}{k}$）x+m+2．
∴直線MN過定點（0，m+2）．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，根與系數的關系，屬于中檔題．