Question

已知△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿A→B→C→A運(yùn)動(dòng)．
（1）求PA的長(zhǎng)y與點(diǎn)P所走路程x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若f（a）=1，求a的值；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合圖象可得，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，當(dāng)2≤x≤2+

2

時(shí)，f（x）=P″A=2+

2

-x，綜合可得；
（2）分別令每一段等于1，解得a值驗(yàn)證可得；
（3）分別求每一段的值域，綜合可得．

解答： 解：（1）（如圖）由題意可得，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，
當(dāng)2≤x≤2+

2

時(shí)，f（x）=P″A=2+

2

-x，
∴f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

（2）令f（a）=1，可得a=1符合題意，
令

a2-2a+2

=1解得a=2，或a=0，均不滿(mǎn)足1＜a＜2，
令2+

2

-a=1解得a=1+

2

符合題意，
故a=1，或a=1+

2

（3）由（1）知f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

，
可知當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤f（x）≤1，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=

12+(x-1)2

∈（1，

2

）
當(dāng)2≤x≤2+

2

時(shí)，f（x）=2+

2

-x∈[0，

2

]
綜上可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬0，

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)值域的求解，屬基礎(chǔ)題．