Question

已知圓C：x²+y²-4x-8y+16=0，
（1）過點A（-4，2）的直線l被圓C截得弦長為2

2

，求l的方程；
（2）已知A（-4，m），m＞0，P為x軸上的點，Q（x，y）為圓C上的點，若|AP|+|PQ|的最小值為8，求m的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出直線的點斜式方程，化為一般式，求出圓心到直線的距離，再由弦長公式2

r2-d2

，即可求出斜率，即可得到直線方程；
（2）求出A關(guān)于x軸的對稱點B的坐標(biāo)，可得|PA|+|PQ|的最小值是|BC|-r，即可求出m．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-4x-8y+16=0，即（x-2）²+（y-4）²=4，
則圓心C（2，4），半徑r=2．
設(shè)直線l的方程為：x=-4或y-2=k（x+4），
當(dāng)x=-4，則有圓心到直線的距離大于半徑，故不成立；
直線l的一般式：kx-y+2+4k=0，
由弦長公式：2

r2-d2

=2

4-d2

=2

2

，
則d=

2

．
則

|2k-4+2+4k|

1+k2

=

2

，解得k=

6± 19

17

，
則直線l的方程為：（6+

19

）x-17y+58+4

19

=0或
（6-

19

）x-17y+58-4

19

=0；
（2）設(shè)A（-4，m）關(guān)于x軸的對稱點為B（-4，-m），
則|PA|+|PQ|≥|BP|+|PC|-r，即最小值是|BC|-r
=

(2+4)2+(4+m)2

-2=8．
解得m=4．

點評：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線和圓相交的弦長公式，點關(guān)于直線的對稱點，考查學(xué)生的計算能力，求出A關(guān)于x軸的對稱點B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．