如圖,PA⊥平面ABCD,ABCD為正方形,,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn).
(1)求證:面EFG⊥面PAB;
(2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值;
(3)求點(diǎn)A到面EFG的距離.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0).
(1)證明:∵
EF
=(0,1,0),
AP
=(0,0,2),
AB
=(2,0,0),
EF
AP
=0×0+1×0+0×2=0,
EF
AB
=0×2+1×0+0×0=0,
∴EF⊥AP,EF⊥AB.
又∵AP、AB?面PAB,且PA∩AB=A,
∴EF⊥平面PAB.
又EF?面EFG,∴平面EFG⊥平面PAB.
(2)∵
EG
=(1,2,-1),
BD
=(-2,2,0)
,
cos<
EG
,
BD
>=
EG
BD
|
EG
|•|
BD
|
=
-2+4
6
•2
2
=
3
6
,
(3)設(shè)平面EFC的法向量
n
=(x,y,z),
n
EF
=(x,y,z)•(0,1,0)=0
n
EG
=(x,y,z)•(1,2,-1)=0
y=0
x+2y-z=0

令z=0,得
n
=(1,0,1).
AE
=(0,0,1),
∴點(diǎn)A到平現(xiàn)EFG的距離d=|
AE
n
|
n
|
|=|
1
2
|=
2
2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于O,AB=4,AD=3.沿AC把△ACD折起,使二面角D1-AC-B為直二面角.
(1)求直線AD1與直線DC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

[理]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中點(diǎn),H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn),
HC1
={2m,-2m,-m}(m<0)

(1)證明HC1⊥平面EDB;
(2)求BC1與平面EDB所成的角;
(3)若正方體的棱長(zhǎng)為a,求三棱錐A-EDB的體積.
[文]若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)
,記f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
(1)計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值;
(2)由(1)推測(cè)f(n)的表達(dá)式;
(3)證明(2)中你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π
4
,PA⊥底面ABCD,PA=2,M為PA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).AF⊥CD于F,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN平面PCD;
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn),則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是( 。
A.
15
5
B.
2
2
C.
10
5
D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn),且EB=FB=1.
( I)求二面角C-DE-C1的正切值;( II)求直線EC1與FD1所成的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,DE⊥平面ABCD,AFDE,DE=3AF=3.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值;
(3)線段BD上是否存在點(diǎn)M,使得AM平面BEF?若存在,試確定點(diǎn)M的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示(其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形,俯視圖是直角三角形),M、N分別是AB1、A1C1的中點(diǎn),MN⊥AB1


(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值并證明MN平面BCC1B1;
(Ⅱ)在上面結(jié)論下,求平面AB1C1與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

中,D為AB邊上一點(diǎn),,,則=(  )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案