Question

4．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+2sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{2}t}\\{y=2+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（1，2），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|QA|•|QB|的值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)ρ=6cosθ+2sinθ兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程兩式相加消元得出普通方程；
（2）求出直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義得出．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+2sinθ，
∴ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=6x+2y，即（x-3）²+（y-1）²=10．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{2}t}\\{y=2+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴x+y=3．即直線l的普通方程為x+y=3．
（2）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C的普通方程得t²+3$\sqrt{2}t$-5=0．
∴|QA|•|QB|=|t₁t₂|=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．