Question

【題目】已知函數(shù)

（1）試討論在極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)的兩個極值點為，且，為的導函數(shù)，設，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導，討論導函數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出極值的個數(shù)；（2）先求出函數(shù)的表達式，進而可得到極值點的關(guān)系，可用來表示及，代入的表達式，然后構(gòu)造函數(shù)關(guān)于的函數(shù)，求出值域即可.

解：（1）易知定義域為，.

①當時，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點；

②當時，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點；

③當時，，

由，令得，令得，

則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故只有一個極大值點，沒有極小值點；

④當時，由，令得，令得,

則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故只有一個極小值點，沒有極大值點.

（2）由條件得且有兩個根，滿足，

或，

因為，所以，故符合題意.

因為函數(shù)的對稱軸，，所以.

，

則，

因為，所以，

，

，

令，則，

顯然在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，

，

則.

故的取值范圍是.