Question

6．已知點O為坐標(biāo)原點，點A，B，C不共線，且$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈R，則點P的軌跡是∠BAC的角平分線所在直線．

Answer 1

分析 先根據(jù)$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方上的單位向量，確定$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向與∠BAC的角平分線一致，再由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得到$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得答案．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方向上的單位向量
∴$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向與∠BAC的角平分線一致
又∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴向量$\overrightarrow{AP}$的方向與∠BAC的角平分線一致
∴P點的軌跡為∠BAC的角平分線所在直線．
故答案為：∠BAC的角平分線所在直線．

點評 本題主要考查向量的線性運算和幾何意義．屬基礎(chǔ)題．