Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象上的一個最高點坐標為（$\frac{5π}{12}$，2），直線x=x₁和x=x₂是函數(shù)f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$時，求函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點；
（3）設A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件結合三角函數(shù)的性質求出A，ω和φ的值即可得到結論．
（2）由g（x）=0，結合三角函數(shù)的解析式進行求解即可，
（3）根據(jù)集合關系轉化為不等式恒成立進行求解．

解答 解：（1）∵|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π=$\frac{2π}{ω}$，則ω=2，
則f（x）=Asin（2x+φ），
∵圖象上的一個最高點坐標為（$\frac{5π}{12}$，2），
∴A=2，且2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
則φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴當k=0時，φ=-$\frac{π}{3}$，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）由g（x）=f（x）-1=0得f（x）=1，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，
則sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，∴-$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2π，
則2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
即x=$\frac{π}{4}$或x=$\frac{7π}{12}$，
故函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點是x=$\frac{π}{4}$或x=$\frac{7π}{12}$，
（3）設A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實數(shù)m的取值范圍．
由|f（x）-m|＜1得：-1＜f（x）-m＜1，即f（x）-1＜m＜f（x）+1，
∵A⊆B，∴當$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，f（x）-1＜x＜f（x）+1恒成立．
∴[f（x）-1]_max＜m＜[f（x）+1]_min
又$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）_max=2，
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）_min=2sin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
則1＜m＜2
∴m∈（1，2）

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)函數(shù)的圖象和性質，綜合性較強，運算量較大．