Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則一定有（　　）

• A、a＜0  b＞0  c＞0  d＜0
• B、a＜0  b＜0  c＞0  d＜0
• C、a＜0  b＞0  c＜0  d＜0
• D、a＜0  b＜0  c＜0  d＜0

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象，根據(jù)其與y軸交點(diǎn)的位置，可以判斷d的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)其單調(diào)性和極值點(diǎn)的位置，可以判斷出其中導(dǎo)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向（可判斷a的符號(hào)）及對(duì)應(yīng)函數(shù)兩個(gè)根的情況，結(jié)合韋達(dá)定理，可分析出b，c的符號(hào)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)，故d＜0；
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象有兩個(gè)遞減區(qū)間，有兩個(gè)遞增區(qū)間，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c的圖象開(kāi)口方向朝下，且于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故a＜0，
又∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)在y軸兩側(cè)，且極小點(diǎn)離y軸近，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根x₁，x₂滿(mǎn)足，
x₁+x₂＞0，則b＞0，x₁•x₂＜0，則c＞0，
綜上a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中根據(jù)圖象的形狀分析其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)由于本題涉及到導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)取極值的條件等諸多難點(diǎn)，故難度比較大．