Question

設(shè)曲線C：y=-ln x（0＜x≤1）在點(diǎn)M（e^-t，t）（t≥0）處的切線為l．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把M的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)即可求出切線方程的斜率，根據(jù)M的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程即可；
（2）令切線方程中的x=0求出與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令y=0求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式表示出面積與t的函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)為0時t的值，由t的值，在t大于等于0上，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（1）∵y′=（-lnx）′=-

1

x

（0＜x≤1），
∴在點(diǎn)M（e^-t，t）處的切線l的斜率為-e^t，
故切線l的方程為y-t=-e^t（x-e^-t），
即e^tx+y-1-t=0；
（2）令x=0，得y=t+1；再令y=0，得x=

t+1

et

．
∴S（t）=

1

2

（t+1）

t+1

et

=

1

2

（t+1）²e^-t（t≥0）．
從而S′（t）=

1

2

e^-t（1-t）（1+t）．
∵當(dāng)t∈[0，1）時，S′（t）＞0；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值為S（1）=

2

e

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，是一道綜合題．