Question

在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=2，∠B=60°，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上任一點(diǎn)（不包含點(diǎn)D），沿直線(xiàn)CE將△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直線(xiàn)CE上，則AD′的最小值是（　　）

• A．

  4- 3

• B．

  4- 2

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：利用面面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、勾股定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：如圖所示：在圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為F點(diǎn)，連接AF，D^′F．
∵沿直線(xiàn)CE將△CDE翻折成△CD′E，使D′在平面ABCE上的射影F落在直線(xiàn)CE上，
∴平面D^′CE⊥平面ABCD．
∴D^′F⊥平面ABCD，∴D^′F⊥AF，
∴AD^′2=D^′F²+AF²．
設(shè)∠CDF=θ，0°≤θ≤60°，則DF=CDcosθ=cosθ，∠EDF=60°-θ．
在△ADF中，由余弦定理得AF²=2²+cos²θ-2×2cosθ×cos（60°-θ），
∴D^′A²=4+2cos²θ-4cosθ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=4-

3

sin2θ，
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1，即2θ=90°，θ=45°時(shí)，取得最小值，且AD′的最小值是

4- 3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、余弦定理、勾股定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．