Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mlnx．．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為3，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g(x)=

2

x

+f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+mlnx，知f′(x)=2x+

m

x

=

2x2+m

x

，由函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為3，知f'（2）=3，由此能求出m．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)m≥0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)m＜0時(shí)，f′(x)=

2(x+ -m 2 )(x- -m 2 )

x

=

2(x+ -2m 2 )(x- -2m 2 )

x

，列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由g(x)=

2

x

+x2+mlnx，得g′(x)=-

2

x2

+2x+

m

x

，由函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+mlnx，
∴f′(x)=2x+

m

x

=

2x2+m

x

，
∵函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為3，
∴f'（2）=3，
∴

2×4+m

2

=3，
解得m=-2．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
①當(dāng)m≥0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)m＜0時(shí)f′(x)=

2(x+ -m 2 )(x- -m 2 )

x

=

2(x+ -2m 2 )(x- -2m 2 )

x

．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， -2m 2 )	-2m 2	( -2m 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

-2m

2

)；
單調(diào)遞增區(qū)間是(

-2m

2

，+∞)．
（3）由g(x)=

2

x

+x2+mlnx，得g′(x)=-

2

x2

+2x+

m

x

，
∵函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，
∴g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
∴-

2

x2

+2x+

m

x

≤0在[1，2]上恒成立．
∴m≤

2

x

-2x2在[1，2]上恒成立．
令h(x)=

2

x

-2x2，
在[1，2]上h′(x)=-

2

x2

-4x=-2(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]為減函數(shù)．h（x）_min=h（2）=-7，
所以m≤-7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．