Question

（本小題滿分14分）
已知拋物線：和點(diǎn)，若拋物線上存在不同兩點(diǎn)、滿足．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在異于、的點(diǎn)，使得經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解法1：（1）不妨設(shè)A，B，且，
∵，∴．
∴，．…………………4分
∵（），即，
∴，即的取值范圍為．…………………6分
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）求得.的坐標(biāo)分別為.．
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（且），…………8分
使得經(jīng)過..三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．
設(shè)經(jīng)過..三點(diǎn)的圓的方程為，
則 
整理得．      ①…………9分
∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，
∴經(jīng)過..三點(diǎn)的圓在點(diǎn)處的切線
斜率為．………10分
∵，∴直線的斜率存在．
∵圓心的坐標(biāo)為，
∴，
即．      ②…………………12分
∵，由①.②消去，得．
即．
∵，∴．
故滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．…………………14分
解法2：（1）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，且。
∵，可得為的中點(diǎn)，
即．…………………2分
顯然直線與軸不垂直，
設(shè)直線的方程為，
即，…………………3分
將代入中，
得． …………………4分
∴ ∴．
故的取值范圍為．     …………………6分
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）求得，的坐標(biāo)分別為．  
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（且），
使得經(jīng)過..三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，
∵  
∴
即               …………………8分
解得  …………………10分
∵拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，
而，且該切線與垂直，∴．   
即．…………………12分
將，代入上式，
得．
即 
∵且，∴．
故滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．    …………………14分

略