Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令，b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若對(duì)一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

解：（1）∵
∴
∴數(shù)列{a_n}是以為公差，首項(xiàng)a₁=1的等差數(shù)列
∴
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=
=
=-
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
當(dāng)n=1時(shí)，上式同樣成立
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=
=
∵恒有成立，
∵，即對(duì)一切n∈N^*成立，
∴，解得 m≥2011，
∴m_最小=2011
分析：（1）根據(jù)題意列出遞推公式，再由等差數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式a_n．
（2）根據(jù)式子的特點(diǎn)進(jìn)行變形，然后由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列求T_n．
（3）把a(bǔ)_n代入b_n整理后再裂項(xiàng)，然后求數(shù)列{b_n}的前n和s_n，再用放縮法和不等式恒成立問(wèn)題，求m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題的前兩小題考查了等差數(shù)列的定義求和問(wèn)題，最后一小題有一定的難度，用到了裂項(xiàng)相消法求和，處理不等式時(shí)用到了放縮法，使得不等式恒成立．