Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的圖象經過$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$兩點，F是C的右焦點，D點坐標為（3，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F的直線l交C于A、B兩點，求直線DA、DB的斜率之積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$兩點在橢圓C上，列出方程組求解a，b即可得到橢圓方程．
（2）通過當直線l的斜率不存在時，計算結果，當直線l的斜率存在，設其方程為y=k（x-1），聯立直線與橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理表示向量關系式，然后求解k的范圍即可．

解答 解：（1）由$M（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，$N（2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}）$兩點在橢圓C上，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{a^2}+\frac{5}{{2{b^2}}}=1}\\{\frac{4}{a^2}+\frac{5}{{3{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$…（2分）
解得a²=6，b²=5，故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$．             …（5分）
（2）由（1）知F（1，0），
當直線l的斜率不存在時，計算得${k_{DA}}×{k_{DB}}=-\frac{25}{24}$．       …（6分）
當直線l的斜率存在，設其方程為y=k（x-1）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{5{x^2}+6{y^2}=3}\end{array}}\right.⇒（6{k^2}+5）{x^2}-12{k^2}x+6{k^2}-30=0$①…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由①得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{6{k^2}+5}}}\\{{x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}-30}}{{6{k^2}+5}}}\end{array}}\right.$②…（8分）
故${k_{DA}}×{k_{DB}}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}×\frac{y_2}{{{x_2}-3}}=\frac{{k（{x_1}-1）k（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-3）（{x_2}-3）}}={k^2}\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}$③…（9分）

將②代入③化簡得${k_{DA}}×{k_{DB}}={k^2}\frac{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}=\frac{{-25{k^2}}}{{24{k^2}+15}}$…（10分）
當k=0時，得k_DA×k_DB=0，當k≠0時，${k_{DA}}×{k_{DB}}=-\frac{25}{{24+\frac{15}{k^2}}}$知$-\frac{25}{24}＜{k_{DA}}×{k_{DB}}＜0$，
綜上可知，$-\frac{25}{24}≤{k_{DA}}×{k_{DB}}≤0$
即直線DA、DB的斜率之積的取值范圍是$[-\frac{25}{24}，0]$…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡單性質，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查設而不求，轉化思想的應用．