Question

有一海灣，海岸線為近似半個(gè)橢圓（如圖），橢圓長軸端點(diǎn)為A，B，AB間距離為3km，橢圓焦點(diǎn)為C，D，CD間距離為2km，在C，D處分別有甲，乙兩個(gè)油井，現(xiàn)準(zhǔn)備在海岸線上建一度假村P，不考慮風(fēng)向等因素影響，油井對(duì)度假村廢氣污染程度與排出廢氣的濃度成正比（比例系數(shù)都為k₁），與距離的平方成反比（比例系數(shù)都為k₂），又知甲油井排出的廢氣濃度是乙的8倍．
（1）設(shè)乙油井排出的濃度為a（a為常數(shù)）度假村P距離甲油井xkm，度假村P受到甲乙兩油井的污染程度和記為f（x），求f（x）的表達(dá)式并求定義域；
（2）度假村P距離甲油井多少時(shí)，甲乙兩油井對(duì)度假村的廢氣污染程度和最��？

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P在橢圓上，知|PC|+|PD|=3，設(shè)|PC|=x，則|PD|=3-x，由此可得P點(diǎn)受甲油井污染程度、受乙油井污染程度，即可求得污染程度和；
（2）令=ak₁k₂（+），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值．
解答：解：（1）由點(diǎn)P在橢圓上，知|PC|+|PD|=3，設(shè)|PC|=x，則|PD|=3-x．
P點(diǎn)受甲油井污染程度為，P點(diǎn)受乙油井污染程度為
污染程度和為，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231751697428863/SYS201311012317516974288017_DA/6.png">
（2）令=ak₁k₂（+），
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=18ak₁k₂×
令f′（x）=0，解得x=2．
當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)； 
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值．
答，度假村距離甲油井2km時(shí)，甲、乙兩油井對(duì)度假村的廢氣污染程度和最�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)思想，考查閱讀能力、建模能力、運(yùn)算能力．屬于中檔題．