某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)y=lnx上的點P(x,y)與原點o的連線所在的直線的斜率k的值的變化規(guī)律.記直線OP的斜率k=f(x).
(I)某同學(xué)甲發(fā)現(xiàn):點P從左向右運動時,f(x)不斷增大,試問:他的判斷是否正確?若正確,請說明理由:若不正確,請給出你的正確判斷;
(Ⅱ)某同學(xué)乙發(fā)現(xiàn):總存在正實數(shù)a、b(a<b),使ab=ba.試問:他的判斷是否正確?若不正確,請說明理由:若正確,請求出a的取值范圍;
(III)某同學(xué)丙發(fā)現(xiàn):當(dāng)x>1時,函數(shù)k=f(x)的圖象總在函數(shù)g(x)=
x-1
x
3
2
的圖象的下方,試問:他的判斷是否正確?若正確,請說明理由:若不正確,請給出你的正確判斷.
分析:(I)某同學(xué)甲的判斷不正確,理由為:f(x)=
lnx
x
,f′(x)=
1-lnx
x2
,利用f'(x)的符號,可得f(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)同學(xué)乙的判斷正確,理由為:x→+∞時,f(x)=
lnx
x
→0
,且
lnx
x
>0
(x>e),由圖象可得總存在正實數(shù)a、b且1<a<e<b,使得f(a)=f(b),由此求得實數(shù)a的取值范圍.
(III)同學(xué)丙的判斷正確:由f(x)-
x-1
x
3
2
=
lnx
x
-
x-1
x
3
2
=
lnx-
x
+
1
x
x
,記g(x)=lnx-
x
+
1
x
,由g′(x)的符號可得g(x)的單調(diào)性,根據(jù)g(x)的單調(diào)性可得g(x)<0,
f(x)-
x-1
x
3
2
<0,即 f(x)<
x-1
x
3
2
解答:解:(I)某同學(xué)甲的判斷不正確.
依題意可得,f(x)=
lnx
x
,f′(x)=
1-lnx
x2
,
當(dāng)x∈(0,e)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時,f'(x)<0.
所以,f(x)在(0,e)上遞增,在(e,+∞)上遞減.  …(4分)
(Ⅱ)同學(xué)乙的判斷正確.
∵當(dāng)x→+∞時,f(x)=
lnx
x
→0

lnx
x
>0
(x>e),又由(1)得f(x)的圖象如圖所示
所以總存在正實數(shù)a、b且1<a<e<b,
使得f(a)=f(b)即
lna
a
=
lnb
b
也就是 ab=ba
此時實數(shù)a的取值范圍為(1,e).…(9分)
(III)同學(xué)丙的判斷正確:問題等價于求證:當(dāng)x>1時,f(x)<
x-1
x
3
2
成立.
f(x)-
x-1
x
3
2
=
lnx
x
-
x-1
x
3
2
=
lnx-
x
+
1
x
x
,記g(x)=lnx-
x
+
1
x
,
g′(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
-
1
2
x-
3
2
=
1
2
x-
3
2
(2
x
-x-1)=-
1
2
x-
3
2
(
x
-1)2<0
,
所以g(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),則 g(x)=lnx-
x
+
1
x
<g(1)=0,
所以 f(x)-
x-1
x
3
2
<0,即 f(x)<
x-1
x
3
2

∴當(dāng)x>1時,函數(shù)k=f(x)的圖象總在函數(shù)g(x)=
x-1
x
3
2
的圖象的下方. …(14分)
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x -1 -0.72 -0.44 -0.16 0.12 0.4
y的近似值 4.00 1.15 0.02 -0.14 0.11 0.08
請你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點,寫出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)f(x)圖象上的兩點A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請給出證明并確定m的個數(shù),若不正確,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省四地六校2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)y=lnx上的點P(x,y)與原點O的連線所在的直線的斜率k的值的變化規(guī)律.記直線OP的斜率k=f(x).

(Ⅰ)某同學(xué)甲發(fā)現(xiàn):點P從左向右運動時,f(x)不斷增大,試問:他的判斷是否正確?若正確,請說明理由:若不正確,請給出你的正確判斷;

(Ⅱ)某同學(xué)乙發(fā)現(xiàn):總存在正實數(shù)a、b(a<b),使ab=ba.試問:他的判斷是否正確?若不正確,請說明理由:若正確,請求出a的取值范圍;

(Ⅲ)某同學(xué)丙發(fā)現(xiàn):當(dāng)x>0時,函數(shù)k=f(x)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方,試問:他的判斷是否正確?若正確,請說明理由:若不正確,請給出你的正確判斷;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
y的近似值4.001.150.02-0.140.110.08
請你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點,寫出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)f(x)圖象上的兩點A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請給出證明并確定m的個數(shù),若不正確,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年福建省莆田市高三質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f(x)=ax3+bx(a≠0,a,b為常數(shù))的 性質(zhì):
(Ⅰ)甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對應(yīng)函數(shù)值y的近似值(精確到0.01):
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
y的近似值4.001.150.02-0.140.110.08
請你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題:
(i)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.4,0.44)內(nèi)是否存在零點,寫出你的判斷并加以證明;
(ii)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-0.3)上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)f(x)圖象上的兩點A(-1,4),B(t,f(t))(-1<t<2),存在m∈(-1,t),使f'(m)的值恰為直線AB的斜率,請你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確?若正確,請給出證明并確定m的個數(shù),若不正確,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案