Question

（本題滿分14分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，然后對(duì)于分段函數(shù)各段的情況分別說(shuō)明單調(diào)性，整體來(lái)合并得到結(jié)論。

（2）當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，那么結(jié)合二次函數(shù)的 性質(zhì)可知頂點(diǎn)的函數(shù)值為正數(shù)，負(fù)數(shù)，還是零，來(lái)確定零點(diǎn)的問(wèn)題。

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

① 當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

② 當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)為；   

（2）當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，

∴在上單調(diào)遞增，又，f(x)與x軸在有唯一交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對(duì)稱軸，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∴，

 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，

  當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)

 當(dāng)，即時(shí)，f(a)<0，函數(shù)與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

考點(diǎn)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于參數(shù)的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點(diǎn)，也是該試題一個(gè)難點(diǎn)。