Question

已知函數(shù)f（x）=x（x+a）-lnx，其中a為常數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）問過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作幾條直線與曲線y=f（x）相切？并說明理由；
（3）若g（x）=f（x）•e^-x在區(qū)間（0，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x），令f′（x）＞0，得增區(qū)間，令f′（x）＜0，得減區(qū)間，注意定義域（0，+∞）；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，由切線過原點(diǎn)，得到t²-1+lnt=0，可通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷方程的解的個(gè)數(shù)；
（3）先求導(dǎo)數(shù)g′（x），構(gòu)造函數(shù)ϕ(x)=-x2+lnx-

1

x

+(2-a)x+a，求出導(dǎo)數(shù)Φ′（x），對(duì)a討論，可分a≤2，a＞2，通過Φ（x）的單調(diào)性，確定g′（x）的符號(hào)，從而判斷g（x）在（0，1）的單調(diào)性，注意條件g（x）在（0，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

=0(x＞0)
得x1=

-a+ a2+8

4

＞0，x2=

-a- a2+8

4

＜0（舍去），
∴f（x）在區(qū)間(0，

a2+8 -a

4

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

a2+8 -a

4

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）設(shè)切點(diǎn)（t，t²+at-lnt），
則切線方程為y=(2t+a-

1

t

)(x-t)+t2+at-lnt．
∵切線過原點(diǎn)，∴0=(2t+a-

1

t

)(-t)+t2+at-lnt，
化簡得t²-1+lnt=0（※）．
設(shè)h（t）=t²-1+lnt（t＞0），
則h′(t)=2t+

1

t

＞0，
∴h（t）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，故方程（※）有唯一實(shí)根t=1，從而滿足條件的切線只有一條．
（3）g′(x)=[f′(x)-f(x)]•e-x=[-x2+lnx-

1

x

+(2-a)x+a]•e-x．
設(shè)ϕ(x)=-x2+lnx-

1

x

+(2-a)x+a，
則ϕ′(x)=-2x+

1

x

+

1

x2

+2-a，
顯然ϕ'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
①當(dāng)a≤2時(shí)，ϕ'（1）=2-a≥0，從而ϕ'（x）＞0在（0，1）內(nèi)恒成立，
即ϕ（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增．注意到ϕ（1）=0，
∴ϕ（x）＜0即g'（x）＜0在（0，1）內(nèi)恒成立．于是g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意．
②當(dāng)a＞2時(shí)，ϕ'（1）=2-a＜0，ϕ'（0⁺）→+∞，
從而?x₁∈（0，1），使得ϕ'（x）＞0在（0，x₁）內(nèi)恒成立，
ϕ'（x）＜0在（x₁，1）內(nèi)恒成立．即ϕ（x）在（0，x₁）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₁，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
又ϕ（1）=0，所以ϕ（x₁）＞0，又ϕ（e^-a）=-e^-2a-e^a+（2-a）e^-a＜0，
∴存在x0∈(e-a，x1)，使得ϕ（x）＜0即g'（x）＜0在（e^-a，x₀）內(nèi)恒成立，
ϕ（x）＞0即g'（x）＞0在（x₀，x₁）內(nèi)恒成立．
∴g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)既有遞減區(qū)間（e^-a，x₀），也有遞增區(qū)間（x₀，x₁），不符合題意．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用：求切線方程，必須注意優(yōu)先考慮切點(diǎn)；求單調(diào)區(qū)間必須注意定義域，同時(shí)考查分類討論的思想方法，是一道綜合題．