Question

設(shè)p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x 滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

；
（1）若a=1且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）p∧q為真，則p真且q真．分別求出p，q為真命題時x的范圍，兩者取交集即可．
（2）q是p的充分不必要條件，即q⇒p，反之不成立．，設(shè)A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，則A?B，轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系．

解答：解：由x²-4ax+3a²＜0，（x-3a）（x-a）＜0，又a＞0，
所以a＜x＜3a…．（2分）
由滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

；
得2＜x≤3，即q為真時，實數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3，…..…．（4分）
（1）當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．若p∧q為真，則p真且q真，所以實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3…（6分）
（Ⅱ）q是p的充分不必要條件，即q⇒p，反之不成立．，
設(shè)A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，則A?B，
則0＜a≤2，且3a＞3所以實數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2…（12分）

點評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題，解題時注意分類討論思想的應(yīng)用．