Question

17．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=1，b${\;}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+2，且9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆，若$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$，則（　　）

• A． 數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是等比數(shù)列，且a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
• B． 數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是等差數(shù)列，且a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
• C． 數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是等比數(shù)列，且a_n=（2n-1）•3^n-1
• D． 數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是等差數(shù)列，且a_n=（2n-1）•3^n-1

Answer 1

分析 由9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆=${_{4}}^{2}$可得q=3，化簡$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$可得$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2，從而求得．

解答 解：∵9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆=${_{4}}^{2}$，
∴q=3，
∴b_n=3^n-1；
又∵$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+2_{n}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1；
∴a_n=（2n-1）•3^n-1．
故選D．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質的判斷與應用及構造法與整體思想的應用．