分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=-3•\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0},式子\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}表示點(diǎn)(sin2x,cos2x)與點(diǎn)(0,\frac{5}{3})連線的斜率,數(shù)形結(jié)合由直線和圓相切可得式子最大值,進(jìn)而可得原式的最小值.
解答 解:由三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}
=\frac{1+cos2x+8•\frac{1-cos2x}{2}}{sin2x}=\frac{5-3cos2x}{sin2x}=-3•\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0},
式子\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}表示點(diǎn)(sin2x,cos2x)與點(diǎn)(0,\frac{5}{3})連線的斜率,
∵x∈(0,\frac{π}{2}),∴2x∈(0,π),sin2x∈(0,1],cos2x∈(-1,1),
∴點(diǎn)(sin2x,cos2x)在單位圓的右半圓(不含直徑端點(diǎn)),
結(jié)合圖象可知當(dāng)過點(diǎn)(0,\frac{5}{3})的直線與半圓相切時,\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}取最大值,
設(shè)直線方程為y-\frac{5}{3}=k(x-0)即3kx-3y+5=0,
由直線和圓相切可得\frac{5}{\sqrt{9{k}^{2}+9}}=1,解方程結(jié)合斜率為負(fù)數(shù)可得k=-\frac{4}{3},
∴原式有最小值-3×(-\frac{4}{3})=4
點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值,變形并轉(zhuǎn)化為直線斜率并解決直線和圓相切是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
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A. | 4025 | B. | -4025 | C. | 8050 | D. | -8050 |
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A. | (0,\frac{24}{13}) | B. | (-\frac{24}{13},0) | C. | (0,\frac{13}{24}) | D. | (0,\frac{13}{12}) |
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