Question

19．為了解某種樹(shù)苗培育情況，研究所在苗圃基地花木園中隨機(jī)抽出30株樹(shù)苗的主體高，編成如圖所示的莖葉圖，若苗主體高在169cm以上（包括169cm）定義為“優(yōu)質(zhì)苗”，高在169cm以下（不包括169cm）定義為“普苗”
（1）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株，再?gòu)倪@5株中選2株，那么至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率是多少？
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該花木園隨機(jī)選3株出售，價(jià)格是：“優(yōu)質(zhì)苗”每株3，“普苗”每株1（單位：千元）用X表示銷售3株的總收入，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖得用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株，抽到株“優(yōu)質(zhì)苗”，抽到2株“普苗”，再?gòu)倪@5株中選2株，求出基本基本總數(shù)，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率．
（2）由已知得X的可能能取值為3，5，7，9，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由莖葉圖得“優(yōu)質(zhì)苗”有18株，“普苗”有12株，
用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株，
抽到$\frac{5}{30}×18$=3株“優(yōu)質(zhì)苗”，抽到$\frac{5}{30}×12$=2株“普苗”，
再?gòu)倪@5株中選2株，基本基本總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率：p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{10}$．
∴至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率是$\frac{9}{10}$．
（2）由已知得X的可能能取值為3，5，7，9，
P（X=3）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{220}{4060}$=$\frac{55}{1015}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{18}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1188}{4060}$=$\frac{297}{1015}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{18}^{2}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1836}{4060}$=$\frac{459}{1015}$，
P（X=9）=$\frac{{C}_{18}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{816}{4060}$=$\frac{204}{1015}$，
∴X的分布列為：

X	3	5	7	9
P	$\frac{55}{1015}$	$\frac{297}{1015}$	$\frac{459}{1015}$	$\frac{204}{1015}$

EX=$3×\frac{55}{1015}$+$5×\frac{297}{1015}$+7×$\frac{459}{1015}$+9×$\frac{204}{1015}$=6.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖、分層抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用．