Question

20．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在以D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值為（　　）

• A． 5+2$\sqrt{5}$
• B． -5-2$\sqrt{5}$
• C． -2+2$\sqrt{5}$
• D． 5-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E（m，n），利用數(shù)量積表示出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$，
利用數(shù)形結(jié)合求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，

建立直角坐標(biāo)系，可得D（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），
設(shè)E（m，n），則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=（m-2，n）•（m-2，n-2）=（m-2）²+n（n-2）
=（m-2）²+（n-1）²-1，
要求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值，
即求點(diǎn)E（m，n）與點(diǎn)P（2，1）的距離的平方的最小值．
由圖象可得，當(dāng)E在點(diǎn)P與D連線(xiàn)與單位圓的交點(diǎn)時(shí)，即為所求．
此時(shí)，|PE|=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$-1=$\sqrt{5}$-1，
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值為（$\sqrt{5}$-1）²-1=5-2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．