Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-3|}（x≠3）}\\{2（x=3）}\end{array}\right.$，若f²（x）+af（x）+b=2015有五個不等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則這五個實數(shù)根的和是15．

Answer 1

分析 先根據(jù)一元二次方程根的情況可判斷f（3）一定是一個解，再假設(shè)f（x）的一解為A可得到x₁+x₂=6，同理可得到x₃+x₄=6，進而可得到x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=15，即可得到最后答案．

解答 解：對于f²（x）+bf（x）+c=2015來說，f（x）最多只有2解，
又f（x）=$\frac{1}{|x-3|}$（x≠3），函數(shù)關(guān)于x=3對稱，當x不等于3時，x最多四解．
而題目要求5解，即可推斷f（3）為一解，
假設(shè)f（x）的另一個解為A，得f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$=A；
根據(jù)函數(shù)y═$\frac{1}{|x-3|}$的對稱性得出：x₁=3+A，x₂=3-A，x₁+x₂=6；
同理：x₃+x₄=6；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=6+6+3=15；
故答案為：15．

點評 本題主要考查一元二次方程根的情況和含有絕對值的函數(shù)的解法，考查基礎(chǔ)知識的綜合運用能力．