Question

已知函數y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）當x∈[0，π]時，求該函數的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數解析式y(tǒng)=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，然后，結合正弦函數的最值情形進行求解；
（2）結合正弦函數的單調區(qū)間，并結合本題條件x∈[0，π]確定該函數的增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
∴y=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1
=

1

2

（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∴y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
令2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，x=kπ+

π

6

，k∈Z．
此時y有最大值

7

4

．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∵x∈[0，π]，
∴該函數的單調增區(qū)間[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點評：本題屬于中檔題，重點考查了三角恒等變換公式及其靈活運用、三角函數的圖象與性質等知識，本題解題關鍵是靈活運用正弦函數的性質進行求解．