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13.如圖,橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率是32,點E(3,12)在橢圓上,設點A1,B1分別是橢圓的右頂點和上頂點,過點A1,B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(II)若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數.
(i)直線EF的斜率是否為定值?若是求出該定值,若不是,說明理由;
(ii)設△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2,求S1+S2的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率是32,點E(3,12)在橢圓上,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)(i)求出A1(2,0),B1(0,1),從而得到kA1E=-3+22,kB1F=3+22,進而求出直線B1F,與橢圓聯(lián)立,求出F,由此能求出直線EF的斜率為定值.
(ii)求出直線EF和方程和|EF|,再分別求出點A1(2,0)到直線EF的距離和點B1(0,1)到直線EF的距離,由此能求出S1+S2

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率是32,點E(3,12)在橢圓上,
{e=ca=323a2+142=1a2=2+c2,解得a=2,b=1,
∴橢圓C的方程為x24+y2=1
(Ⅱ)(i)∵E(3,12)在橢圓上,點A1,B1分別是橢圓的右頂點和上頂點,過點A1,B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F.
∴A1(2,0),B1(0,1),∴kA1E=1232=-3+22,∴kB1F=3+22,
∴直線B1F:y1=3+22x,即y=3+22x+1,
聯(lián)立{y=3+22x+1x24+y2=1,消去y,并整理,得x2+x=0,
解得x=0或x=-1,∴{x=0y=1{x=1y=32,
∴F(-1,-32),
∴kEF=12+323+1=12
∴直線EF的斜率為定值12
(ii)直線EF:y-12=12(x-3),即x-2y-3+1=0,
|EF|=12+322+3+12=20+1032,
點A1(2,0)到直線x-2y-3+1=0的距離d1=|23+1|5=315,
點B1(0,1)到直線x-2y-3+1=0的距離d2=|23+1|5=3+15
∵△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2,
∴S1+S2=12×|EF|×gotvgjq1+n9m3jqy2=12×20+1032×235=12+632

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法,考查兩個三角形的面積之和的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意直線斜率公式、點到直線距離公式、兩點間距離公式的合理運用.

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