Question

某旅游景點(diǎn)2012年的利潤(rùn)為100萬(wàn)元，因市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，若不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)從2013年起每年利潤(rùn)比上一年減少4萬(wàn)元，2013年初，該景點(diǎn)一次性投入90萬(wàn)元開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測(cè)在未扣除開(kāi)發(fā)所投入資金的情況下，第n年（n為正整數(shù)，2013年為第1年）的利潤(rùn)為100（1+

1

3n

）萬(wàn)元．
（1）設(shè)從2013年起的前n年，該景點(diǎn)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為A_n萬(wàn)元，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)為B_n萬(wàn)元（須扣除開(kāi)發(fā)所投入的資金），求A_n，B_n的表達(dá)式；
（2）依上述預(yù)測(cè)，該景點(diǎn)從第幾年開(kāi)始，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過(guò)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別列出該景點(diǎn)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目與開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的每年利潤(rùn)，從而求利潤(rùn)總和即可；
（2）解B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0即可．

解答： 解：（1）該景點(diǎn)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，從2013年起的前n年，
當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100-4萬(wàn)元，
當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100-8萬(wàn)元，
當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100-12萬(wàn)元，
…
故前n年的總利潤(rùn)A_n=100-4+100-8+…+100-4n=100n-2n（n+1）；
開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，從2013年起的前n年，
當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100（1+

1

3

）萬(wàn)元，
當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100（1+

1

9

）萬(wàn)元，
當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)年的利潤(rùn)為100（1+

1

27

）萬(wàn)元，
…
故前n年的總利潤(rùn)B_n=100（1+

1

3

）+100（1+

1

9

）+100（1+

1

27

）+…+100（1+

1

3n

）-90=100n-

50

3n

-40；
故A_n=100n-2n（n+1）；
B_n=100n-

50

3n

-40；
（2）令B_n-A_n=100n-

50

3n

-40-（100n-2n（n+1））
=2n（n+1）-

50

3n

-40＞0，
n=4時(shí)，B_n-A_n＜0，當(dāng)n=5時(shí)，B_n-A_n＞0；
故該景點(diǎn)從第5年開(kāi)始，開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)超過(guò)不開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用及數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．