(2012•南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-3x,且在x=1時(shí)函數(shù)f(x)取得極值.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)=x2-2x-1(x>0),
①證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)的圖象恒在f(x)的上方;
②證明不等式(2n+1)2>4ln(n!)恒成立.(注:(n!=1×2×3×…×n))
分析:(I)先求函數(shù)的定義域,然后根據(jù)在x=1時(shí)函數(shù)f(x)取得極值求出a的值,最后根據(jù)f′(x)<0可求出函數(shù)的減區(qū)間,f′(x)>0可求出函數(shù)的增區(qū)間;
(II)①設(shè)F(x)=f(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F(x)的最大值,從而可判定F(x)的符號,即可證得g(x)的圖象恒在f(x)圖象的上方;
②由①可知,lnx-x+1≤0,可得lnx<x恒成立,從而有l(wèi)n1<1,ln2<2,ln3<3,…,lnn<n,累加可得ln(1×2×3×…×n)=lnn!<
n(n+1)
2
,然后利用放縮法可證得結(jié)論.
解答:解:(I)由題可知,函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},
f′(x)=
1
x
+2ax-3=
2ax2-3x+1
x
,
∵x=1處函數(shù)f(x)取得極值
∴f′(1)=0,即2a-3+1=0,解得a=1
即f′(x)=
(2x-1)(x-1)
x

當(dāng)x∈(0,
1
2
)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(
1
2
,1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,
1
2
),(1,+∞),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(
1
2
,1)
(II)①設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,F(xiàn)′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

∵當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)<0
∴F(x)≤F(1)=0即f(x)<g(x)恒成立,從而g(x)的圖象恒在f(x)圖象的上方
②由①可知,lnx-x+1≤0,即lnx≤x-1∴l(xiāng)nx<x恒成立
從而有l(wèi)n1<1,ln2<2,ln3<3,…,lnn<n,
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn<1+2+3+…+n
即ln(1×2×3×…×n)=lnn!<
n(n+1)
2

n(n+1)
2
<(
n+n+1
2
)
2

(2n+1)2
4
>ln(n!)
即(2n+1)2>4ln(n!)
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題以及不等式的證明,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
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