已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4，l1，l2是過點P(0，2)且互相垂直的兩條直線，l1交E于A，B兩點，l2交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N，
(1)求橢圓E的方程；
(2)求l1的斜率k的取值范圍；
(3)求的取值范圍．
解：(1)設橢圓方程為，
由得，
∴橢圓方程為。
(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為零，
∵l1：y=kx+2，
∴l(xiāng)2：y=-x+2，
由消去y并化簡整理，得(3+4k2)x2+16kx+4=0，
根據(jù)題意，Δ=(16k)2-16(3+4k2)＞0，解得k2＞，
 同理得，k2＜4，
∴＜k2＜4，k∈(-2，-)∪(，2)；
(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
那么x1+x2=-，
∴x0=，y0=kx0+2=，
∴M，
同理得N，即N，
∴=，
∵＜k2＜4，
∴2≤k2+，
∴，
即的取值范圍是。
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：海南省高考真題 題型：解答題

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇高考真題 題型：解答題

已知三點P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）。
（1）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓標準方程；
（2）設點P、F1、F2關于直線y=x的對稱點分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程。

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已知橢圓C的中心在原點，F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點，直線x=4為它的一條準線，又知橢圓C上存在點M，使得，
(1)求橢圓C的方程；
(2)若PQ為過橢圓焦點F2的弦，且，求△PF1Q的內切圓面積最大時實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇模擬題 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2，1)到兩焦點的距離之和為4，
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點，其中點A在x軸下方，且，求過O、A、B三點的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：同步題 題型：解答題

已知一橢圓經(jīng)過點(2，-3)，且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點，
(1)求橢圓方程；
(2)若P為橢圓上一點，P、F1、F2是一個直角三角形的頂點，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1|：|PF2|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：湖南省模擬題 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，
(1)若原點到直線x+y-b=0的距離為，求橢圓的方程；
(2)設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A、B兩點，
①當|AB|=時，求b的值；
②對于橢圓上任一點M，若，求實數(shù)λ、μ滿足的關系式。

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科目：高中數(shù)學 來源：0128 模擬題 題型：解答題

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當＜時，求實數(shù)t的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省模擬題 題型：解答題

已知橢圓E：的右焦點恰好是拋物線C：y2=4x的焦點F，點A是橢圓E的右頂點，過點A的直線l交拋物線C于M，N兩點，滿足OM⊥ON，其中O是坐標原點，
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)過橢圓E的左頂點B作y軸平行線BQ，過點N作x軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點O。若△QMN是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程．

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