Question

19．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上的一點，$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，DE交AB于點F．
（1）求證：PF•PO=PA•PB；
（2）若PD=4，PB=2，DF=$\frac{20}{7}$，求弦CD的弦心距．

Answer 1

分析 （1）先證明△PDF∽△POC，再利用割線定理，即可證得結論；
（2）設圓的半徑為r，由△PDF∽△POC，可得半徑為5，由切割線定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂徑定理和勾股定理，計算可得弦CD的弦心距．

解答 解：（1）證明：連接OC、OE，則∠COE=2∠CDE，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，∴∠AOC=∠AOE，
∴∠AOC=∠CDE，
∴∠COP=∠PDF，
∵∠P=∠P，
∴△PDF∽△POC
∴$\frac{PD}{PO}$=$\frac{PF}{PC}$，
∴PF•PO=PD•PC，
由割線定理可得PC•PD=PA•PB，
∴PF•PO=PA•PB．
（2）設圓的半徑為r，PD=4，PB=2，DF=$\frac{20}{7}$，
由△PDF∽△POC，可得$\frac{PD}{PO}$=$\frac{DF}{OC}$，
即有PD•OC=PO•DF，
即4r=$\frac{20}{7}$（2+r），解得r=5．
由切割線定理可得，PD•PC=PB•PA•
即為4（4+CD）=2（2+2r），
即有CD=r-3=5-3=2，
則弦CD的弦心距為OH=$\sqrt{O{C}^{2}-（\frac{1}{2}CD）^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查三角形相似，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力以及運算能力，屬于中檔題．