Question

設有二元關系f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1，已知曲線Γ：f（x，y）=0
（1）若a=2時，正方形ABCD的四個頂點均在曲線上，求正方形ABCD的面積；
（2）設曲線C與x軸的交點是M、N，拋物線E：y=

1

2

x²+1與 y 軸的交點是G，直線MG與曲線E交于點P，直線NG 與曲線E交于Q，求證：直線PQ過定點（0，3）．
（3）設曲線C與x軸的交點是M（u，0）、N（v，0），可知動點R（u，v）在某確定的曲線上運動，曲線與上述曲線C在a≠0時共有4個交點，其分別是：A（x₁，|x₂）、B（x₃，x₄）、C（x₅，x₆）、D（x₇，x₈），集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設為Y_i=1，2，…，255），將Y_i中的所有元素相加（若Y_i中只有一個元素，則和是其自身）得到255個數(shù)y₁、y₂、…、y₂₅₅，求y₁³+y₂³+…+y₂₅₅³的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，可得f（x，y）表示兩條平行線，之間的距離是2，為一個正方形，即可得出其面積S．
（2）在曲線C中，令y=0，則x²+ax-1=0，設M（m，0），N（n，0），則mn=-1，G（0，1），可得直線MG，NG方程．聯(lián)立解得P(-

2

m

，

2

m2

+1)，同理可得Q（2m，2m²+1）．可得直線PQ的方程為：y-2m2-1=(m-

1

m

)(x-2m)，即可驗證直線PQ過定點（0，3）．
（3）令y=0，則x²+ax-1=0，則mn=-1，即點R（u，v）在曲線xy=-1上，又曲線C：f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1=0．恒表示平行線x-y=

-a± a2+1

2

，如圖所示，
A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）關于直線y=-x對稱，可得x₁+x₂+x₃+x₄=0，同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，則x₁+x₂+…+x₈=0，集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設為Y_i=1，2，…，255），取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，則y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，

y

2 1

=0，對X的其它子集，把它們配成集合“對”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，這樣的集合“對”共有127對，且對每一個集合“對”都滿足y_p+y_q=0，因此

y

3 p

+

y

3 q

=0，即可得出．

解答： 解：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，
∴f（x，y）表示兩條平行線，之間的距離是2，為一個正方形，其面積S=4．
（2）證明：在曲線C中，令y=0，則x²+ax-1=0，
設M（m，0），N（n，0），則mn=-1，G（0，1），
則直線MG：y=-

1

m

x+1，NG：y=-

1

n

x+1．
聯(lián)立

y=- 1 m x+1 y= 1 2 x2+1

，解得P(-

2

m

，

2

m2

+1)，
同理可得Q（-

2

n

，

2

n2

+1）．
∴直線PQ的方程為：y-

2

n2

-1=（m+n）（x+

2

n

）
令x=0，則y=

2

n2

+1+（m+n）

2

n

=

2

n2

+1+（-

1

n

+n）

2

n

=3，
因此直線PQ過定點（0，3）．
（3）令y=0，則x²+ax-1=0，則mn=-1，即點R（u，v）在曲線xy=-1上，
又曲線C：f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1=0．
恒表示平行線x-y=

-a± a2+4

2

，如圖所示，
A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）關于直線y=-x對稱，則

x1+x3

2

=-

x2+x4

2

，即x₁+x₂+x₃+x₄=0，
同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，則x₁+x₂+…+x₈=0，
集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設為Y_i=1，2，…，255），
取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，則y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，

y

2 1

=0，
對X的其它子集，把它們配成集合“對”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，
這樣的集合“對”共有127對，且對每一個集合“對”都滿足y_p+y_q=0，
因此

y

3 p

+

y

3 q

=0，
于是y₁³+y₂³+…+y₂₅₅³=0．

點評：本題考查了平行直線系、直線的交點、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、集合的性質、中點坐標公式、對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．