Question

△ABC的外接圓半徑為1，且滿足下列三個條件：
①

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

； ②

CA

+

CB

=2

CM

；  ③

CM

+

CN

=

O

．
（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀； （Ⅱ）求

NA

•

NB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件①中等號右邊的第二項(xiàng)變形后，前兩項(xiàng)提取

AB

，利用平面向量的減法法則計(jì)算后，得到

CA

•

CB

=0，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則得到CA與CB垂直，從而得到∠C為直角，確定出三角形為直角三角形；
（Ⅱ）由條件②得到M為AB中點(diǎn)，由條件③得到C為MN中點(diǎn)，根據(jù)第一問得到∠C為直角，故以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出|AB|的長，由直角三角形的外接圓半徑為1，得出斜邊長為2，即|AB|=2，列出關(guān)于a與b的等式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M及N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

NA

和

NB

，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算后，把得出的a與b的等式代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由條件①知：

AB

2=

AB

•(

AC

-

BC

)+

CA

•

CB

=

AB

2+

CA

•

CB．

（3分）
∴

CA

•

CB

=0．即CA⊥CB．
∴△ABC為直角三角形(∠C=

π

2

)；（5分）

（Ⅱ）由條件②知M為AB的中點(diǎn)，（6分） 由條件③知C為MN的中點(diǎn)．（7分）
以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)A（a，0），B（0，b），又△ABC的外接圓半徑為1，
則有|AB|=

a2+b2

=2．（8分）
∴M(

a

2

，

b

2

)，N(-

a

2

，-

b

2

)，
∴

NA

=(

3

2

a，

b

2

)，

NB

=(

a

2

，

3

2

b)，
∴

NA

•

NB

=

3

4

(a2+b2)=3．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了三角形形狀及其判斷，涉及的知識有平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量數(shù)量積為0時兩向量滿足的關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，第二問根據(jù)∠C為直角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及直角三角形的外接圓半徑列出a與b的關(guān)系式，兩次利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M和N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求的兩向量，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，整體代入即可求出值．熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．