我們都使用過蚊香,蚊香是由一圈螺旋線組成的.為了兼顧美觀和燃燒的效果,通常在設計時,有以下幾種方案:

方案一:等速螺線,如圖2-4-6中圖(1).圖中畫出了關于點O對稱的兩支蚊香是沿這兩支曲線剪開的平面部分(以下同).

圖2-4-6

方案二:圓的漸開線,如圖2-4-6(2).圖中曲線是圓弧,曲線是圓的漸開線(以下同).

受方案二的啟示,可得.

方案三:正方形的漸開線,如圖2-4-6(3).

請根據(jù)圖(2)和圖(3)寫出圖(2)和圖(3)對應曲線的方程.

思路分析：本探究目的在于探討數(shù)學的美在實際問題中的體現(xiàn).要寫出相應曲線的方程,可以根據(jù)曲線滿足的條件,可以使用參數(shù)方程,普通方程或者極坐標方程寫出,關鍵在于對知識的靈活掌握和應用.首先要明白漸開線的含義,可以根據(jù)課本中圓的漸開線的定義和求解的方法進行類比.建立適當?shù)淖鴺讼?根據(jù)條件寫出坐標滿足的關系式.

解：在方案二中,建立如題圖中圖(2)所示的直角坐標系,圓弧的參數(shù)方程為

(取基圓的半徑r=1,≤φ＜1).

曲線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),且φ≥1).

在方案三中,曲線是由圓弧與圓弧內(nèi)連結(jié)的,建立如題圖中圖(3)所示的直角坐標系,設OA=OC=1,則曲線的各段由下列方程構(gòu)成(式中n∈N,以下同):

(x-)2+(y-)2=(0≤x＜1,≤y＜0);

x2+(y-1)2=2(4n-3)2,〔4n－3≤x＜(4n-3),-4n+4≤y＜4n-2〕;

(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x＜4n-3,4n-2≤y＜(4n-2)〕;

x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x＜-4n+1,-4n≤y＜4n-2〕;

(x-1)2+y2=2(4n)2〔-4n+1≤x＜4n+1,-4n≤y＜-4n〕.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用．
（Ⅰ）從盒中每次隨機抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；
（Ⅱ）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用．
（Ⅰ）從盒中每次隨機抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；
（Ⅱ）（理）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
（Ⅱ）（文）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，求此時盒中使用過的零件個數(shù)為3或4概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省高三2月月考理科數(shù)學 題型：解答題

盒中裝有個零件，其中個是使用過的，另外個未經(jīng)使用.

（Ⅰ）從盒中每次隨機抽取個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求次抽取中恰有次

抽到使用過的零件的概率；

（Ⅱ）從盒中隨機抽取個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

 

 

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