Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=-x+2與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若圓上一點C滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OB}$，則r=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 5
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角是θ且θ∈[0，π]，由向量的書記運算求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，對已知的式子兩邊同時平方后，由數(shù)量積運算化簡后可求cosθ，由二倍角的余弦公式和θ的范圍求出$cos\frac{θ}{2}$，由點到直線的距離公式求出圓心O到直線的距離，由三角函數(shù)列出方程求出r的值．

解答 解：由題意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角是θ，且θ∈[0，π]，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ，
由題意知，$\overrightarrow{OC}=\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，
則${\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{25}{16}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{15}{8}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\frac{9}{16}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
所以${r}^{2}=\frac{25}{16}{r}^{2}+\frac{15}{8}{r}^{2}cosθ+\frac{9}{16}{r}^{2}$，
化簡cosθ=$-\frac{3}{5}$，
因為cosθ=2$co{s}^{2}\frac{θ}{2}$-1，且$cos\frac{θ}{2}$＞0，所以$-\frac{3}{5}$=2$co{s}^{2}\frac{θ}{2}$-1，
解得$cos\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)圓心O（0，0）到直線x+y-2=0的距離為d，
則d=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即r$cos\frac{θ}{2}$=$\sqrt{2}$，解得r=$\sqrt{10}$，
故選：D．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，二倍角的余弦公式，以及向量的數(shù)量積運算的靈活應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．