Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，是否存在，使得和的圖象在處的切線互相平行，若存在，請給予證明，若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導數(shù)，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求解。

（2）當時，求得，，假設(shè)，使得和的圖象在處的切線互相平行，轉(zhuǎn)化為使得，且，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在定理，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，，

當時，，所以在上單調(diào)遞增，滿足題意；

當時，由，，得，

由，解得；由，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

要使得函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則滿足，解得，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（2）當時，函數(shù)，，可得，，

假設(shè)，使得和的圖象在處的切線互相平行，

即使得，且.

令，則函數(shù)在上是減函數(shù)，

因為，，

所以，所以使得.

由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，

所以，當時，在上，

又由恒成立， 所以，而時，，

所以當時，，使得和的圖象在處的切線互相平行.