Question

13．設(shè)f（θ）=$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$．
（1）化簡f（θ）；
（2）如果f（2θ）=2$\sqrt{2}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），求f（θ）的值．

Answer 1

分析 （1）把分子分母的cos2θ展開二倍角的余弦，再展開二倍角正弦化簡得答案；
（2）由f（2θ）=2$\sqrt{2}$，展開二倍角正切求得tanθ，即可得到f（θ）的值．

解答 解：（1）f（θ）=$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$=$\frac{1+sin2θ-1+2si{n}^{2}θ}{1+sin2θ+2co{s}^{2}θ-1}$=$\frac{2sinθcosθ+2si{n}^{2}θ}{2sinθcosθ+2co{s}^{2}θ}$=tanθ；
（2）由f（2θ）=2$\sqrt{2}$，得tan2θ=$2\sqrt{2}$，
∴$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}=2\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}ta{n}^{2}θ+tanθ-\sqrt{2}=0$，解得tanθ=$-\sqrt{2}$或tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$f（θ）=tanθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．