Question

7．已知a，b，c，d均為正數(shù)，且ad=bc
（Ⅰ）證明：若a+d＞b+c，則|a-d|＞|b-c|；
（Ⅱ）t•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+fx5r7bz^{2}}$=$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$+$\sqrt{^{4}+3p3fbvx^{4}}$，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a+d）²＞（b+c）²，兩邊相減，結合完全平方公式即可得證；
（Ⅱ）先證（a²+b²）（c²+d²）=（ac+bd）²，再由基本不等式，運用不等式的可加性，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：由a+d＞b+c，可得
（a+d）²＞（b+c）²，又4ad=4bc，
即有（a+d）²-4ad＞（b+c）²-4bc，
即為（a-d）²＞（b-c）²，
即有|a-d|＞|b-c|；
（Ⅱ）（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
=a²c²+2adbc+b²d²=（ac+bd）²，
即有t•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+35x3fxb^{2}}$=t•（ac+bd），
由$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$≥$\sqrt{2}$ac，$\sqrt{^{4}+rz9vhz9^{4}}$≥$\sqrt{2}$bd，
由t•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+d5jzj5x^{2}}$=$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$+$\sqrt{^{4}+f7l5z5r^{4}}$，
可得t•（ac+bd）≥$\sqrt{2}$（ac+bd），
則t≥$\sqrt{2}$，當且僅當a=c，b=d時取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用不等式的性質，同時考查均值不等式的運用和不等式的可加性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．