Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

16

=1，離心率為

3

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過a＞4的橢圓的右焦點F任作一條斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點，問在F右側(cè)是否存在一點D（m，0），連AD、BD分別交直線x=

25

3

于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恰好過F，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

16

=1，離心率為

3

5

，易知a=5，可得求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為y=k（x-3），代入

x2

25

+

y2

16

=1，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

FM

•

FN

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

16

=1，離心率為

3

5

，易知a=5，橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1或

y2

16

+

25x2

256

=1 …4分
（Ⅱ）存在m=5，理由如下：由題知，F(xiàn)（3，0）．
設(shè)AB的方程為y=k（x-3）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線代入

x2

25

+

y2

16

=1，可得（16+25k²）x²-150k²x+225 k²-400=0
∴x₁+x₂=

150k2

16+25k2

，x₁x₂=

225k2-400

16+25k2

；y₁y₂=-

256k2

16+25k2

----------------------6分
設(shè)M（

25

3

，y₃），N（

25

3

，y₄），由M、A、D共線，y₃=

(3m-25)y1

3(m-x1)

，同理y₄=

(3m-25)y2

3(m-x2)

…8分
又

FM

=（

16

3

，y₃），

FN

=（

16

3

，y₄），由已知得

FM

•

FN

=0得y₃y₄=-

256

9

，
∴

(3m-25)y1

3(m-x1)

•

(3m-25)y2

3(m-x2)

=-

256

9

，
∴（1+k²）（16m²-400）=0，
∴m=±5，
∵m＞3，∴m=5 …12分

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓方程，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．