Question

設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)在上的值域；
（2）證明對于每一個，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．

Answer 1

(1) ；（2）證明見解析；（3）當時，為，當且時，為．

解析試題分析：(1)由于可以看作為的二次函數(shù)，故可利用換元法借助二次函數(shù)知識求出值域；（2）這類問題的常用方法是證明在區(qū)間是單調(diào)的，且或者或，即可得證；本題中證時也可數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）要求的值，注意分類討論，時直接得結(jié)論，那么求時，只要用分組求和即可，在時，中除第一項外是一個公比不為1的等比數(shù)列的和，因此先求出
，同樣在求時用分組求和的方法可求得結(jié)論．
試題解析：（1），由 令，．
，在上單調(diào)遞增，在上的值域為．     4分
（2）對于，有，，從而，,,在上單調(diào)遞減, ,在上單調(diào)遞減．
又.
.      7分
當時，
（注用數(shù)學(xué)歸納法證明相應(yīng)給分）
又，即對于任意自然數(shù)有
對于每一個，存在唯一的，使得      11分
（3）．
當時，．
.      14分
當且時，．
     18分
考點：(1)換元法與二次函數(shù)的值域；（2）函數(shù)的零點；（3）分類討論與分組求和．