如圖,在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=分 12式，tan∠MNP=2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓方程.

解析:題中沒有給出坐標(biāo)系,我們根據(jù)圖形的對(duì)稱性,建立坐標(biāo)系.當(dāng)然,我們可以嘗試建立其他的坐標(biāo)系.?

在此題中,角的正切可看作相應(yīng)直線的斜率,從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)與c的關(guān)系,求a時(shí)可有三種方法：代入點(diǎn)法,利用橢圓的第一定義得方程；利用點(diǎn)在橢圓上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程；根據(jù)△PMN是直角三角形.我們這里只介紹一種方法,讀者可自己嘗試其他方法.?

解:如圖,以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.?

設(shè)以M、N為焦點(diǎn),且過點(diǎn)P的橢圓方程為=1,焦點(diǎn)為M(-c,0),N(c,0).?

由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=-2,

得直線PM和PN的方程分別為y=(x+c)和y=-2(x-c),?

聯(lián)立兩方程解得x=c,y=c,?

即P點(diǎn)坐標(biāo)為(c,c).?

在△PMN中,MN=2c,MN上的高為c,?

∴S△MNP=12×2c×45c=1.?

∴c=,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(),?

|PM|==2,|PN|==1.?

∴a=(|PM|+|PN|)=.從而b2=a2-c2=1,故所求橢圓方程為x2+y2=1.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在面積為1的正△A1B1C1內(nèi)作正△A2B2C2，使
A1A2
=2
A2B1
，
B1B2
=2
B2C1
，
C1C2
=2
C2A1
，依此類推，在正△A2B2C2內(nèi)再作正△A3B3C3，…．記正△AiBiCi的面積為ai（i=1，2，…，n），則a1+a2+…+an=
3
2
(1-
1
3n
)
3
2
(1-
1
3n
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，在面積為1的正內(nèi)作正，使，     ，，依此類推， 在正內(nèi)再作正，……。記正的面積為，則a1＋a2＋……＋an＝      _________

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖南省高二上學(xué)期第三次階段性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：填空題

如圖，在面積為1的正內(nèi)作正，使，，，依此類推， 在正內(nèi)再作正，……。記正的面積為，則a1＋a2＋……＋an＝       。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省九江市高二第一次階段測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：填空題

 

如圖，在面積為1的正內(nèi)作正，使，

，，依此類推， 在正內(nèi)再作正，……。記正的面積為，則a1＋a2＋……＋an＝       。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，在面積為1的正△A1B1C1內(nèi)作正△A2B2C2，使，，，依此類推，在正△A2B2C2內(nèi)再作正△A3B3C3，…．記正△AiBiCi的面積為ai（i=1，2，…，n），則a1+a2+…+an=    ．

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