【題目】已知函數(shù)a,.

1)若,且內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值;

2)若,且有三個(gè)不同零點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù)a使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由;

3)若,,試討論是否存在,使得.

【答案】12)存在;a的值為3)答案不唯一,具體見解析

【解析】

1,,討論兩種情況,分別計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到參數(shù).

2,根據(jù)題意,計(jì)算得到,計(jì)算得到答案.

3,,故必須上有解,解方程得到答案.

1)若,則,,

,則在,則,則上單調(diào)遞增,

,故上無零點(diǎn),舍;

,令,得,,,

上,,在上單調(diào)遞減,

上,,在上單調(diào)遞增,

,

,則,上無零點(diǎn),舍;

,則,上恰有一零點(diǎn),此時(shí);

,則,,

上有各有一個(gè)零點(diǎn),舍;

a的值為.

2)因?yàn)?/span>,則,若有三個(gè)不同零點(diǎn),且成等差數(shù)列,可設(shè),

,則,故,,.

此時(shí),,,故存在三個(gè)不同的零點(diǎn).

故符合題意的a的值為.

3)若,

∴若存在,使得,

必須上有解.

方程的兩根為:,,

只能是,

依題意,即,

又由,得,故欲使?jié)M足題意的存在,則

∴當(dāng)時(shí),存在唯一的滿足

當(dāng)時(shí),不存在使.

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