Question

點(diǎn)P是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E：上的一點(diǎn)，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|一2|PF₂|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求雙曲線(xiàn)的離心率e;

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，，，求雙曲線(xiàn)E的方程；

(3)若過(guò)點(diǎn)Q(m，0)(m為非零常數(shù))的直線(xiàn)與(2)中的雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N且 (為非零實(shí)數(shù))，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)G，使?若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)∵|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|―|PF₂|=2，

     ∴|PF₁|=4，|PF₂|=2

     ∵PF₁⊥PF₂，∴(4)²+(2)²=(2c)²，

     ∴e=

    (2)由(1)知雙隨線(xiàn)的方程可設(shè)為，

    漸近線(xiàn)方程為．

設(shè)P₁(₁，2₁)，P₂(₂，－2₂)，P(，y)

∵．

    ∵

    ∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，

    ∴

    化簡(jiǎn)得,∴

    ∴雙曲線(xiàn)方程為

    (3)設(shè)在軸上存在定點(diǎn)G(t，0)使．

①若直線(xiàn)⊥軸時(shí)，|m|> (確保直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E有兩個(gè)不同交點(diǎn))．

時(shí)，則有且對(duì)軸上任一點(diǎn)G，，

    

    ②若直線(xiàn)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)：，，N．

聯(lián)立－8=0

    ,

∵，

   

的充要條件為

由

又∵

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴

    ∴    ∴

綜上，在軸上存在一點(diǎn)G(,0)，使。