Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

（b∈R）．g（x）=x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在區(qū)間（0，

1

3

）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥2時，若存在x₁，x₂（x₁≠x₂），使得曲線y=g（x）在x=x₁與x=x₂處的切線互相平行，求證x₁+x₂＞8；
（3）當(dāng)b=4時，若?x₁∈[-4，

1

2

]，?x₂∈（0，+∞），使f（x₁）+g（x₂）＜15，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)不小于0恒成立，即可得到b的范圍；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由條件得到等式，再由基本不等式，即可得證；
（3）b=4時，f（x）在-4≤x≤

1

2

時，f（x）_max=f（-4）=12，則原命題等價為?x＞0，x+

a

x

+lnx＜3，
即a＜（3x-x²-xlnx）_max，運用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=（2x+b）

1-2x

+（x²+bx+b）•

1

2

•

1

1-2x

•(-2)
=

-5x2+(2-3b)x

1-2x

=

-5x(x- 2-3b 5 )

1-2x

≥0，對任意x∈（0，

1

3

）恒成立，
則

2-3b

5

≥

1

3

，即有b≤

1

9

；
（2）證明：g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=1-

a

x2

+

1

x

，
由已知可得，g′（x₁）=g′（x₂），
即有1-

a

x12

+

1

x1

=1-

a

x22

+

1

x2

，
即

x1-x2

x12x22

[a（x₁+x₂）-x₁x₂]=0，
即有a（x₁+x₂）=x₁x₂≤（

x1+x2

2

）²，
則x₁+x₂＞4a≥8，即x₁+x₂＞8；
（3）b=4時，f（x）=（x+2）²

1-2x

，
在-4≤x≤

1

2

時，f（x）_max=f（-4）=12，
則原命題等價為?x＞0，x+

a

x

+lnx＜3，
即a＜（3x-x²-xlnx）_max，
令h（x）=3x-x²-xlnx，h′（x）=2-2x-lnx，
x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減，0＜x＜1時，h′（x）＞0，
則h（1）取極大，也為最大，且為2，
故a＜2．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，屬于中檔題．