Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，cos2x），$\overrightarrow$=（cosφ，sinφ），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$（-π＜φ＜0）且y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ的值和f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換求出函數(shù)f（x），再根據(jù)f（x）圖象的對(duì)稱軸求出φ的值，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，cos2x），$\overrightarrow$=（cosφ，sinφ），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）；
又y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$；
又-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）函數(shù)y=f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．