Question

設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足

x-3

x-2

≤0．
（1）若a=1且p∨q為假，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）先求出命題p，q為真時(shí)的x的取值范圍：命題p為真，a＜x＜3a；命題q為真，2＜x≤3．而由a=1得到：命題p：1＜x＜3，根據(jù)p∨q為假知p，q都為假，所以求命題p，q為假時(shí)的x的取值范圍再求交集即可；
（2）由p是q的必要不充分條件，便可得到

a＞0 a≤2 3a＞3

，解該不等式組即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）由（x-a）（x-3a）＜0，a＞0，得a＜x＜3a；
∴a=1時(shí)，1＜x＜3，即：
p為真時(shí)，1＜x＜3；
由

x-3

x-2

≤0，得2＜x≤3，即：
q為真時(shí)，2＜x≤3；
若p∨q為假，則p假，q假，所以

x≤1，或x≥3 x≤2，或x＞3

，∴x≤1，或x＞3；
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是：（-∞，1]∪（3，+∞）；
（2）p是q的必要不充分條件，所以：
由p得不到q，而由q能得到p；
∴

a＞0 a≤2 3a＞3

，∴1＜a≤2；
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查解一元二次不等式，分式不等式，以及p∨q真假和p，q真假的關(guān)系，以及必要條件、充分條件、必要不充分條件的概念．