Question

18．水是最常見的物質(zhì)之一，是包括人類在內(nèi)所有生命生存的重要資源，也是生物體最重要的組成部分，為了推動(dòng)對水資源迸行綜合性統(tǒng)籌規(guī)劃和管理，加強(qiáng)水資源保護(hù)，解決日益嚴(yán)峻的淡水缺乏問題，開展廣泛的宣傳以提高公眾對開發(fā)和保護(hù)水資源的認(rèn)識，中國水利部確定每年的3月22日至28日為“中國水周”，以提倡市民節(jié)約用水．某市統(tǒng)計(jì)局凋查了該市眾多家庭的用水量情況，繪制了月用水量的頻率分布直方圖，如圖所示．將月用水量落人各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的用水量相互獨(dú)立．
（I）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)該地家庭的平均用水量；
（Ⅱ）求在未來連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的用水量低于4噸的概率；
（Ⅲ）用X表示在未來3個(gè)月里月用水量不低于12噸的月數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖估計(jì)該地家庭的平均用水量．
（Ⅱ）頻率分布直方圖得用水量不低于12噸的頻率和月用水量低于4噸的頻率，由此能求出有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的用水量低于4噸的概率．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，X～B（3，0.3），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖估計(jì)該地家庭的平均用水量為：
$\overline{x}$=2×0.0375×4+6×0.0625×4+10×0.075×4+14×0.05×4+18×0.025×4=9.4（噸）．
（Ⅱ）頻率分布直方圖得用水量不低于12噸的頻率為（0.05+0.025）×4=0.3，月用水量低于4噸的頻率為0.0375×4=0.15，
∴有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的用水量低于4噸的概率：
p=0.3×0.3×0.15+0.3×0.3×0.15=0.027．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，X～B（3，0.3），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.7）^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.3）（0.7）^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.3）^{2}（0.7）$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.3）^{3}$=0.027，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

EX=3×0.3=0.9．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．